三角函数内容规律 |!h:<2^
.4xOkQo
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. {>E^@0L
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1、三角函数本质: "H3_ %"uBq
OvIj\%O
三角函数的本质来源于定义 |_pxetkh[%
@<DSaT'
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 #-8DJF0
!a
tC&2G
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 a5D46ML.e
z)f[up#9C
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 2luM76
6& QRr
推导: >sf#lw!
_9.(js_h
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 !L>`
{N
5i'}-HvDu
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) %:.%1
@xkgI>
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) _^jNmq 9
W)C3hX'f
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 -[d'NCIw
9fSn+ E"
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) %Z9!,q@
9V;+&\n!
[1] db7IEv?AYk
~Q-L4gz&
两角和公式
ps:hG$
a_;Qci6/w
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ymP3G&RfTS
]t
BG(Ql
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB )]R?wH[
Y]8C*J\
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 6iNAW1
!d@,dbRD
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB F;PtV
_;/~KQ5
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) o1,pumktw
Y/`F y>?U
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) S+*J
BRtG
[h:V-"
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) j[s6Yu9N
?]2B{~m
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) t&Hr}p
3
L3O AR
倍角公式 nE56X
pT
N!RA{=f
Sin2A=2SinA•CosA ?TJ$#fCh|
!@%vr>@~_
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 !W(s'^*
\Eu~_%U$:
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) fH&B7!r%
RzB;>H4&lL
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) n(a}I@
(',0/8CK
三倍角公式 CJMg."<s|
=]sGpH>r
ngN~xX
2N*t*Y\?
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 0"%oERI1
d\du5$hi
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) jnG~s\}H&
9K;
PV
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
f]2Byy|
iR) Uo5\
三倍角公式推导 %o eF>|a
M0cZHW
sin3a `^ 4:r
o 3oyj5W
=sin(2a+a) *=tNE[k
` ^ ~ ^
=sin2acosa+cos2asina ;X?vJQ}]
'A?*6iF
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina L'J75J2{
gi1)`:Y>
=3sina-4sin³a ,~*NtwgP
Icr-bBp:~
cos3a 2U_,Pe:
~73B.:z
=cos(2a+a) 2u$OA#b$P
~-6?t3Mg
=cos2acosa-sin2asina [3~Q"r
(l 0<h{1(G
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 8s TuvXF<L
2nmmJB*
=4cos³a-3cosa wE,]EeG
8&:`*Eo[
sin3a=3sina-4sin³a l-b{wS.
8BH)6E
=4sina(3/4-sin²a) 3,L4MZb
1 p<uy9]
=4sina[(√3/2)²-sin²a] LF)$uK0?
it.'
=4sina(sin²60°-sin²a) L!&M.
FT+$GdO
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) M;O`#?\
XM'V<k=7da
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] XP.Fg`Kf5
DY$L$w'
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ?5nKnE+
;~r>Iz_<*q
cos3a=4cos³a-3cosa U$A8'k87
X7
p^>N@
=4cosa(cos²a-3/4) _'-{Ks9N9
:^C|+
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] >AObiRg
H$Vz
=4cosa(cos²a-cos²30°) PH -c"|
;p8><MmW;$
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ).v%#9WC
kpQm@KDe.j
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} X+eiM(g
I'C>~QxK
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Tr(7?
(]
Ez_?
}t2gz
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] xn -lG
}b[R<a9
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] F$\r;mE
O
/g'`<O1
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) z}>TIN9
)b1n4
上述两式相比可得 PF
~]'
79-
Czuh'/b
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) E'2-/db
hN.|6Y81
半角公式 XI2,#`:
P@
PpQ2G
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); //`?=Gg
zu>Qej2\0
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Yc$0/5&6L
D^\dLkXX
和差化积 c(bf EP8L
'wqp{c'LS
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Xu!&$m]y
9y;v{b
3
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] R
g7sB"kv1
|Jm0,E@7
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] [TfV=#Xm l
7wnU2`W
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] /xx2;!T
s?[0N
5d
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) rH%\P<xon
#F]1<J]pv
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) G?v\X
>c)ha)
积化和差 nH"-v*h(
t2pZ{|XIB
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ~vl(0
ub_H'R$:B
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] B>(G=]G
:_g`5Gw~
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] M>e4\zoP0N
y
A./9r}5
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] sP3D<k
$sr_no
诱导公式 Wx;#<Vq
me]m~c>6&
sin(-α) = -sinα H|+Ie
0q]mC=/O3
cos(-α) = cosα Ey7gv'"U
r^P
V[(
sin(π/2-α) = cosα !i<yLIk
b\>YE'!8
cos(π/2-α) = sinα w~)N_5p=O
1BmPbw;X(
sin(π/2+α) = cosα 0dcIqJ%
hKnJe(\
cos(π/2+α) = -sinα Uy5.B:
0Vt5a6o z
sin(π-α) = sinα o@W5
[Gf^M K
cos(π-α) = -cosα .vd=dty
xSI(x j
sin(π+α) = -sinα z[,^BCb
F`~_H56
cos(π+α) = -cosα pc~k1Uc4
la4?$bKRB
tanA= sinA/cosA Hoe"x
~g
!>l F2Nk
tan(π/2+α)=-cotα n4jrtEGe6
wT.JJ"
tan(π/2-α)=cotα ]TT5tK
AP>VhDq
tan(π-α)=-tanα Zjn-n( n
xRVW
tan(π+α)=tanα o!^^~Ry
vzsN~zh
万能公式 8H|8#b
]i0c[T16
dG,9<YH
94TcW}%v;
其它公式 F&C!E6G
<X:r
2l
(sinα)^2+(cosα)^2=1 *z*T.oK]H
edYISj`
1+(tanα)^2=(secα)^2 39xY2hW
'+/&D4Z
1+(cotα)^2=(cscα)^2 >EJ%/G
V_+!a?
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 L/]Ge]
`Rg=<6
对于任意非直角三角形,总有 WeQAKI+
y$
iJQ*oCJ
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 5AU/
fg
{v[Ou;iBz
证: tJyB}Kvqn
IuMb0nO|/
A+B=π-C N+J;KShA}
U'(OC[
tan(A+B)=tan(π-C) &SAU^ab
G71?0O]P
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) y|a?OXpT4
$DH&3
整理可得 O%q S0u1
eo)=P ^&X
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC %Kl:qqLHV
*tC&^p{
得证 w L%<sR
a_d %P
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 !Zpb#ky
tovj.5-
其他非重点三角函数 +>hQM-;I$1
<uqh
7!-w
csc(a) = 1/sin(a) Fodqx.KPH
w3Ue|1pA
sec(a) = 1/cos(a) zT_]H<i:'
GmB|p
2C_82#|.9
Gcr7PSf
双曲函数 -!{|R.(p>
!T4c~h'
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 5XV94MXK3
E
YwEwBZ
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ##~kCEpef
(
Naxw'4
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) hndEb=
)of&'$cq
公式一: 1{t5TPc
HI
%nUE$U{
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: eTGzi
;'I)!
5;
sin(2kπ+α)= sinα 5iq=b %E
6V=&;E12?m
cos(2kπ+α)= cosα roUGJ,n :
%zD1~n
tan(kπ+α)= tanα
m?Ii'.[
-
6qvOV
cot(kπ+α)= cotα qLwvhdt9`
I|r
aZU
公式二: ?gHZZYuE
3tt'w
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: ^UM6?8tNb
daK_#qJZ/
sin(π+α)= -sinα MKf%}F
`wrRyQ3d,
cos(π+α)= -cosα
5c.Wy
bTv~h}T
tan(π+α)= tanα qUu8sBb2%
E7Hi_V)c
cot(π+α)= cotα ,Yw&>=1#T
")p>Ev&
公式三: \7FpIp&
~V}A.\I
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 6mxu
L
mr4g6\
sin(-α)= -sinα 8hJ\=$9
B'lPM&[.E:
cos(-α)= cosα 5Z+3}ALNjk
*`,s
?OW
tan(-α)= -tanα fDRBW(.<
.+4a*'(T
cot(-α)= -cotα $5^5eR>F
&y*vK+*S
公式四: 6626hR
P)n$`Gr
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: `ixCatY
"N@)8dLb
sin(π-α)= sinα Iwi~[jA
fz`-YM&v
cos(π-α)= -cosα G}Uk$\jmC
1b.iKRO=
tan(π-α)= -tanα GRo( 2D
"}8{q/h
cot(π-α)= -cotα _Sq*Fr9oO
jwgJ
<D
公式五: #P,lQ+
4LO< |