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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 |!h:<2^  
. 4xOkQo  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. {>E^@0L  
\@)_1X  
  1、三角函数本质: "H3_%"uBq  
OvIj\%O  
  三角函数的本质来源于定义 |_pxetkh[%  
@<DSaT'  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 # -8DJF0  
!a tC&2G  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 a5D46ML.e  
z)f[up#9C  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 2luM76  
6& QRr  
  推导: >sf#lw!  
_9.(js_h  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 !L>` {N  
5i'}-HvDu  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) %:.%1  
@xkgI>  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) _^jNmq 9  
W)C3hX'f  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 -[d'NCIw  
9fSn+ E"  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) %Z9!,q@  
9V;+&\n!  
  [1] db7IEv?AYk  
~Q-L4 gz&  
  两角和公式 ps:hG$  
a_;Qci6/w  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ymP3G&RfTS  
]t BG(Ql  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  )]R?wH[  
Y]8C*J\  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 6i NAW1  
!d@, dbRD  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB F;PtV   
_;/~KQ5  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) o1,pumktw  
Y/`Fy>?U  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) S+*J BRtG  
[h:V-"  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  j[s6Yu9N  
?]2B{~m  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) t&Hr}p 3  
L3O AR  
倍角公式 nE56X pT  
N!R A{=f  
  Sin2A=2SinA•CosA ?TJ$#fCh|  
!@%vr>@~_  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 !W(s'^*  
\Eu~_%U$:  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) fH&B7!r%  
RzB;>H4&lL  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) n(a}I @  
(',0/8CK  
三倍角公式 CJMg."<s|  
=]sGpH>r  
   ngN~ xX  
2N*t*Y\?  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 0"%oERI1  
d\du5$hi  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) jnG~s\}H&  
9K ; PV  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) f]2Byy|  
iR) Uo5\  
三倍角公式推导 %oeF>|a  
M0cZHW  
  sin3a  `^4:r  
o3oyj5W  
  =sin(2a+a) *=tNE[k  
` ^ ~ ^  
  =sin2acosa+cos2asina ;X?vJQ }]  
'A?*6 iF  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina L'J75J2{  
gi1)`:Y>  
  =3sina-4sin³a ,~*NtwgP  
Icr-bBp:~  
  cos3a 2U_,Pe:  
~73 B.:z  
  =cos(2a+a) 2u$OA#b$P  
~-6?t3Mg  
  =cos2acosa-sin2asina [3~Q"r  
(l0<h{1(G  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 8s TuvXF<L  
2nmmJB*  
  =4cos³a-3cosa wE,]EeG  
8&:`*Eo[  
  sin3a=3sina-4sin³a l-b{wS.  
8 BH)6E  
  =4sina(3/4-sin²a) 3,L4MZb  
1p<uy9]  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] LF)$uK0?  
it.'  
  =4sina(sin²60°-sin²a) L!&M.  
FT+$GdO  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) M;O`#?\  
XM'V<k=7da  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] XP.Fg`Kf5  
DY$L$w'  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ?5n KnE+  
;~r>Iz_<*q  
  cos3a=4cos³a-3cosa U$A8'k87  
X7 p^>N@  
  =4cosa(cos²a-3/4) _'-{Ks9N9  
: ^C|+  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] >AObiR g  
H$Vz  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) PH -c"|  
;p8><MmW;$  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ).v%#9WC  
kpQm@KDe.j  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} X+eiM(g  
I'C>~QxK  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Tr(7? (]  
Ez_? }t2gz  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] x n -lG  
}b[R<a9  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] F$\r;mE  
O /g'`<O1  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) z}>TIN9  
)b1n4  
  上述两式相比可得 PF ~]' 79-  
C zuh'/b  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)  E'2-/db  
hN.|6Y81  
半角公式 XI2,#`:  
P@ PpQ2G  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); //`?=Gg  
zu>Qej2\0  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Yc$0/5&6L  
D^\dLkXX  
和差化积 c(bfEP8L  
'wqp{c'LS  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Xu!&$m]y  
9y;v{b 3  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] R g7sB"kv1  
|Jm0,E@7  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] [TfV=#Xm l  
7wnU2`W  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] /xx2;!T  
s?[0N 5d  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) rH%\P<xon  
#F]1<J]pv  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) G?v \X  
>c )ha)  
积化和差 nH"-v*h(  
t2pZ{|XIB  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ~vl(0  
ub_H'R$:B  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] B>(G=]G  
:_g`5Gw~  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] M>e4\zoP0N  
y A./9r}5  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] sP3D<k  
$sr_ no  
诱导公式 Wx;#< Vq  
me]m~c>6&  
  sin(-α) = -sinα H|+Ie  
0q]mC=/O3  
  cos(-α) = cosα Ey7gv'"U  
r^P V[(  
  sin(π/2-α) = cosα !i<yLIk  
b\>YE'!8  
  cos(π/2-α) = sinα w~)N_5p=O  
1BmPbw;X(  
  sin(π/2+α) = cosα 0dcIqJ%  
hKn Je(\  
  cos(π/2+α) = -sinα  Uy5.B:  
0Vt5a6o z  
  sin(π-α) = sinα o@ W5  
[Gf^M K  
  cos(π-α) = -cosα  .vd=dty  
xSI(xj  
  sin(π+α) = -sinα z[,^BCb  
F`~_H56  
  cos(π+α) = -cosα pc~k1Uc4  
la4?$bKRB  
  tanA= sinA/cosA Hoe"x ~g  
!>l F2Nk  
  tan(π/2+α)=-cotα n4jrtEGe6  
wT.JJ"  
  tan(π/2-α)=cotα ]TT5tK  
AP>VhDq  
  tan(π-α)=-tanα Zjn-n( n  
xRVW  
  tan(π+α)=tanα o!^^~Ry  
vzsN~zh  
万能公式 8H| 8# b  
]i0c[T16  
   dG,9<YH  
94TcW}%v;  
其它公式 F&C!E6G  
<X:r 2l  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 *z*T.oK]H  
edYISj`  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 39x Y2hW  
'+/&D4Z  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 >EJ%/G  
V_+!a?  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 L/]Ge]   
`Rg=<6  
  对于任意非直角三角形,总有 WeQAKI+  
y$ iJQ*oCJ  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 5AU/ fg  
{v[Ou;iBz  
  证: tJyB}Kvqn  
IuMb0nO|/  
  A+B=π-C N+J;KShA}  
U'(OC[  
  tan(A+B)=tan(π-C) &SAU^ab  
G71?0O]P  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) y|a?OXpT4  
$DH&3  
  整理可得 O%q S0u1  
eo)=P ^&X  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC %Kl:qqLHV  
*tC&^p{  
  得证 w L%< sR  
a_d %P  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 !Zpb#ky  
tovj.5 -  
其他非重点三角函数 +>hQM-;I$1  
<uqh 7!-w  
  csc(a) = 1/sin(a) Fodqx.KPH  
w3Ue|1pA  
  sec(a) = 1/cos(a) zT_]H<i:'  
GmB|p  
   2C_82#|.9  
Gcr7PSf  
双曲函数 -!{|R.(p>  
!T4c~h'  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 5XV94MXK3  
E YwEwBZ  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ##~kCEpef  
( Naxw'4  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) hndEb=  
)of&'$cq  
  公式一: 1{t5TPc  
HI %nUE$U{  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: eTGzi  
;'I)! 5;  
  sin(2kπ+α)= sinα 5iq=b%E  
6V=&;E12?m  
  cos(2kπ+α)= cosα roUGJ,n :  
%zD1~n  
  tan(kπ+α)= tanα m?Ii'.[  
- 6qvOV  
  cot(kπ+α)= cotα qLwvhdt9`  
I|r  aZU  
  公式二: ?gHZZYuE  
3tt'w  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: ^UM6?8tNb  
daK_ #qJZ/  
  sin(π+α)= -sinα MKf%}F  
`wrRyQ3d,  
  cos(π+α)= -cosα 5c.Wy  
bTv~h}T  
  tan(π+α)= tanα qUu8sBb2%  
E7Hi_V)c  
  cot(π+α)= cotα ,Yw&>=1#T  
")p>Ev&  
  公式三: \7FpIp&  
~ V}A.\I  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 6mxu L  
mr4g6 \  
  sin(-α)= -sinα 8hJ\ =$9  
B'lPM&[.E:  
  cos(-α)= cosα 5Z+3}ALNjk  
*`,s ?OW  
  tan(-α)= -tanα fDRBW(.<  
.+4a*'(T  
  cot(-α)= -cotα $5^5eR >F  
&y*vK+*S  
  公式四: 6626hR  
P)n$`Gr  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: `ixCatY  
"N@)8dLb  
  sin(π-α)= sinα Iwi~[jA  
fz`-YM&v  
  cos(π-α)= -cosα G}Uk$\j mC  
1b.iKRO=  
  tan(π-α)= -tanα GRo( 2D  
"}8{q/h  
  cot(π-α)= -cotα _Sq*Fr9oO  
jwgJ <D  
  公式五: #P,lQ+  
4LO<16p  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: x&MX EI"q  
mfs@BKdb  
  sin(2π-α)= -sinα ?Jf}IZj  
l=zFho^lA  
  cos(2π-α)= cosα  lT['p  
]h Nyr)>  
  tan(2π-α)= -tanα )i~We1a(&  
Y<K|M/!l  
  cot(2π-α)= -cotα *f!2 (& ;V  
/fclJ1*p  
  公式六: TEC0SP&  
"K;YpZy N  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:  oT6uy&[  
)Ew_*~5dM  
  sin(π/2+α)= cosα exbNN+W0.A  
X]vlb/  
  cos(π/2+α)= -sinα i;-v]2t%  
/|{rIdt u  
  tan(π/2+α)= -cotα ]BK0``*k  
x"'n[kS~p  
  cot(π/2+α)= -tanα BW zyX  
._]z*ly"*  
  sin(π/2-α)= cosα 4d/b`+qn  
C!nxgS@|  
  cos(π/2-α)= sinα Oq(ORd*U  
Sc<CZmgG  
  tan(π/2-α)= cotα KHh_`$&`  
P&U X]/C  
  cot(π/2-α)= tanα {!}Eiv  
GWLm+n:+  
  sin(3π/2+α)= -cosα '!B.'  
=912JItV  
  cos(3π/2+α)= sinα Z&PSM  
ked/=  
  tan(3π/2+α)= -cotα s@fcV W  
z'W<;RFZ8  
  cot(3π/2+α)= -tanα $]5XgvQS  
[3seC>;R:  
  sin(3π/2-α)= -cosα Y8c?:y4  
(ooyr%  
  cos(3π/2-α)= -sinα f`1bv{P,f  
i;ku2v>h  
  tan(3π/2-α)= cotα AO`:.\I  
t$2+~*\ia  
  cot(3π/2-α)= tanα ZJ[I}  
n,F n".TvZ  
  (以上k∈Z)  (v~Su:F  
36EiMcOZS  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ?{OJI  
I2A NL@   
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = $U\7  
xB),wyF  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } zeGqBqY&:  
X~aPRHz~  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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