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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 J&kp1H>ra  
7f-E`cE0k  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. hiMg];4  
:u}.:z\  
　　1、三角函数本质： ^4Trt#D2%  
oHtyi EHWP  
　　三角函数的本质来源于定义 A)>:Wj=  
%$ 86oaFx  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 SB@'h;,  
HdJ$s8'o>  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 h9ew})/hv  
M)@kw  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： |, l#I8ld0  
(~.ACGpc  
　　推导： *WM@G@W{  
UM,*4  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 \_:4Bl >  
bS]A7[  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) p!u6Dy"  
jhKV^k  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) qs[w{_:%  
}7T/?=4h  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 lmMDz   
p| =0sM  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） '] s7zo  
1.bllc}s  
　　[1] S{n(  
4M>_4_~H,  
　　两角和公式 $b|e[K4`  
v{?4R76  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 9.PF{6=1  
D ihQTY  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  L x%V WJt  
htSLFyy  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB MwP~wZVi  
_:Sh.;~u  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Z3)RXe  
T^'   
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) HYN`'{|  
yYU8* N)M  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 96 J?4o  
9Ug!CNT`  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  }tY$@S 6g  
sgHA^M5Fa  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 3M4@)`A6;  
G6"dNHf  
倍角公式 :bDj: Q\:  
kQiu C|~  
　　Sin2A=2SinA•CosA JqH|Et  
28Y_Uat4  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 h_0K{  
;: 3fnY\p6  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） [=h# u6  
;+u9m~F8I  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） KHOX 9xi  
yo|rgxH  
三倍角公式 5ppjSlK}  
6x|nAh#  
　　 D\5znv$S  
:A)MQ}J  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) uJ}B2`&\h%  
m7aZSJZ_  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 8y*mskl4r  
rnXu;  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 9S`G[Jq.  
MdIyq8f  
三倍角公式推导 %~IYqy3wL  
>0vx4  
　　sin3a V0,x>C]=!  
~!&r1*5?D  
　　=sin(2a+a) ^WUjc@ @  
_5I&~ -z  
　　=sin2acosa+cos2asina 2j,",{aw  
(8VWX7YB  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina D(T0usPoR  
1sn!G [Pa  
　　=3sina-4sin³a xxK fL8  
N 4d2m)>K  
　　cos3a XYZy5  
:j3xNV  
　　=cos(2a+a) xBusS  
iGqMy{_  
　　=cos2acosa-sin2asina \m,#$~Di  
cHf>XT/z{  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa m#T)wDZ  
zu;]Wmj*  
　　=4cos³a-3cosa G]S]^Cc"  
4p[@4>{  
　　sin3a=3sina-4sin³a Qp4uHi#  
9Z5KbkHM  
　　=4sina(3/4-sin²a) ulSEM   
o^)mnR]7  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 5| t &vc  
buIA6I3ZL  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) M4 .S>  
PFy*;peE  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) O_Aj|'s*H  
}t#A?6cr  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] t O_ xe)  
>Bjr|'`o6a  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Q/ qfgFB_M  
qJsrq~vT!-  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 0+<|00@,6  
u+gK1wrr  
　　=4cosa(cos²a-3/4) D(| 9h  
T-)W:w<  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] dvmJ_:  
mlxQP_  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) *)6DeN<  
|Pi#=!C#  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ]lb(M"+Z  
Qng6v F`(  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 2<kQ5vIM  
ZatD8*e  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) sH\ MbE(R  
z'=66n?  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] c{c-4/fBC  
tej$]mlk  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] <#E_sS`\  
R-8bQ8  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) A<PM,d  
Zwf'|^  
　　上述两式相比可得 nw+ ,I`.k  
awWeU 87  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) EARd\Y3<  
%)2(A@"8  
半角公式 O2(O.2_*  
/nv[.k  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); y$o _b  
L0 k=(@8a  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. $I.em  
O`3~j`^._  
和差化积 >uk2F }"  
?V b IL^aZ  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] j07^' 7  
;CO4qgn! 8  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] n}JGp:mYF  
9~Dc8jW(i  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] B^Ver}.  
<$P$q473:  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $/OvFp]{  
Q1.Kr:6o  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) m;% c AG  
R ]?xwZ(:  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) NWDAi/:  
D,6pxVv*y  
积化和差 N$c dZm5u  
H$dR s<1w  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] PK/grCT2u  
[, ].  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] :>)shOW}k  
naRN%J#EdF  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] w2{W0<  
JpH8 |~Gm  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] kcew/  
YMk&+  
诱导公式 g"x7-5I  
^Os|bX W  
　　sin(-α) = -sinα =cx@-$f_  
6yrU_ u  
　　cos(-α) = cosα W^$g6f  
)1o9{0J  
　　sin(π/2-α) = cosα \ S<(GA  
EW5r&8b'  
　　cos(π/2-α) = sinα _zH G@m  
9cF-cm6  
　　sin(π/2+α) = cosα W%T^G$  
y6)Ge\II1  
　　cos(π/2+α) = -sinα 3V!^CXEG[;  
$J+p`kFC  
　　sin(π-α) = sinα jtDbg(c;h  
P}Gw.0D?\  
　　cos(π-α) = -cosα +sEC/ "  
h%La V$5  
　　sin(π+α) = -sinα K}# j2@  
16WRP6:  
　　cos(π+α) = -cosα I+|5Q#@4i  
TS*zApr8m  
　　tanA= sinA/cosA :'vB.2cZ  
13x. Q Q6  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα uB2E`t-  
n41+H 3h  
　　tan（π/2－α）＝cotα y0*3p&b   
~z8Qj=8  
　　tan（π－α）＝－tanα t \z{^PU5  
eYK>m/II!  
　　tan（π＋α）＝tanα nvIGUW  
D*R1{8o+  
万能公式 F(~, ~xc  
06d\0HKbrU  
　　 2{`YL o  
em3ex>  
其它公式 8< T]fvJ  
w#bZ(3^  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 5Q ,/9o  
-#oh E/o  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 9[ oLiE<  
K\rfW%_3"[  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 <&- T:3B`  
Vzc J2,Fv  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 $oavCm3i  
| 8(3{xEB  
　　对于任意非直角三角形,总有 QHAh[!S*  
$;.Ex=  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC g$:dQ  
:H=i6#(w  
　　证: W^58 eq@cy  
x0s{;[2m  
　　A+B=π-C <0GhtJp]  
6%nr8b<  
　　tan(A+B)=tan(π-C) `E +i/  
(mMNhgn\  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) _`\~e.*p-  
7)q]@LX  
　　整理可得 Co@^AJlt  
X[uWc6A  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC rPA@K8x  
Lj0qyDy  
　　得证 uZ ac_n:0  
ti 5&Q`  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 i1O>GHoz  
p| $  
其他非重点三角函数 z:D1Rju;  
%?h/@eHl:  
　　csc(a) = 1/sin(a) L}9+!7(LT  
w:4)`i0  
　　sec(a) = 1/cos(a) qDVe[_  
T>/*!+D  
　　 V8YF.L  
%f)$?32q  
双曲函数 'Jc$Q S  
=`#Nd  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 HlM7k5coy  
n&\0#G\aJ  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ~^y[,JL s  
H[;2sUa EL  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 8l  ? lA  
+o~@-;2y  
　　公式一： T:"=+J  
26P}TlX\Z  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： K1K-siNLV  
>|tU +(>  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ;IeAk;  
0MRw $`  
　　cos（2kπ＋α）= cosα l~= 2_cWq  
Pz} &9  
　　tan（kπ＋α）= tanα rMA%|ba  
ttJ1y~Q'  
　　cot（kπ＋α）= cotα <xO/-M,WcC  
/n8 ]}:  
　　公式二： 2;(pe\  
#yg!S|?  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 8 n8`YUw~  
gid=z2)#3  
　　sin（π＋α）= -sinα 48 Nd>FW  
]h `g)Ga  
　　cos（π＋α）= -cosα >-FXV#ya  
evojdug  
　　tan（π＋α）= tanα +(m @?e+L  
:q*,ek1eI  
　　cot（π＋α）= cotα (%iq; g S  
: |E)giGbs  
　　公式三： rbAI -wpNJ  
H!%yO Xs,  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： '3u,=5X  
$0O}R,UW/  
　　sin（-α）= -sinα oOlpN2[z  
hS\94^FU  
　　cos（-α）= cosα Ks,M8X$-U  
>c5;t/e  
　　tan（-α）= -tanα Y ew+{\}&0  
o/p 2(~,  
　　cot（-α）= -cotα Bd xE{(x  
o _cN y'  
　　公式四： Lp0r\I%$  
| '~0E+PcG  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： -&6Evm3  
"/KLFhg&u  
　　sin（π-α）= sinα ) -P05^P  
NE[vCWdu  
　　cos（π-α）= -cosα }M;RwEj39  
/Mt W}V  
　　tan（π-α）= -tanα ~).v dy  
m,05) R%  
　　cot（π-α）= -cotα |: {X,?5  
|@1o `  
　　公式五： T :9Ww4$  
t*s_ IOO  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： QG{lJ {Ez  
[Vkn.xw  
　　sin（2π-α）= -sinα 'a*}yG5oF  
<94Ua0?  
　　cos（2π-α）= cosα =/gRYOJ  
nY@}`WU4k  
　　tan（2π-α）= -tanα JlvFGgD  
 v%h.  
　　cot（2π-α）= -cotα q- $dH(>  
m{W>9a-  
　　公式六： *w[dF|>  
@"H7k8E  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： bkfUG4l1  
MO& 2-un\  
　　sin（π/2+α）= cosα y 3jO+]P  
%G_Z%f6  
　　cos（π/2+α）= -sinα xM/ ?N`9R  
4}@~zF1s  
　　tan（π/2+α）= -cotα gpc6A+;#Wi  
IMd;1g A  
　　cot（π/2+α）= -tanα q/5.6![-  
PU)[e #u=  
　　sin（π/2-α）= cosα sa }V(07  
=csl*|$9  
　　cos（π/2-α）= sinα b91tl  
xLQ gx=  
　　tan（π/2-α）= cotα c}nD*UBg  
P#,T#   
　　cot（π/2-α）= tanα Edzp  
O=(fBeIL  
　　sin（3π/2+α）= -cosα !OXr ayx,  
PO(|<Hkk  
　　cos（3π/2+α）= sinα 8\=|crug  
lF-X@'77  
　　tan（3π/2+α）= -cotα YT9<j#[d  
S.3Eu H7|  
　　cot（3π/2+α）= -tanα '{JQj  
"Y0PCoa;Z  
　　sin（3π/2-α）= -cosα J]`\P**/U  
0GdUxB%/i  
　　cos（3π/2-α）= -sinα mM*54v>  
ez. :2 ?  
　　tan（3π/2-α）= cotα Q<TU   
'kuOx0u]  
　　cot（3π/2-α）= tanα {].'<-S  
JHtm~D")  
　　(以上k∈Z) VVpI<si$  
KLdS"M]{  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 vN!1~k7[  
J_9gwM2  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 'y}8 ^i  
Y( T;s7  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } G'e|.f><kI  
/QEwQ}V  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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