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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 av,f;v:#  
~gs/Unt  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. %+ #\ FJ  
Z\k)MC  
　　1、三角函数本质： gatS1+1>  
ge}.FQ]w  
　　三角函数的本质来源于定义 8fWD[>Me`P  
P!Ze2x  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 :in+w6PJ?  
mAt$sJ3  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 B\CmW+x  
n"Myxl  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： OPx,x*8JOF  
y#YH@o_+D  
　　推导： ;,!*;& ,  
j(S,u7->  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 -8\X  
7Kt*+ W  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) c|zP1Cy  
{jV OF76  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) *tA e;*P  
mV{LiB8d  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 KA8n+Q8  
h;\jXDl-  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） z8NIu5  
]v[{,fV=}  
　　[1] /l$ #M  
h_.kb=e@#  
　　两角和公式  lv5|#CW  
+__Rvf{  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB rv*m&!K  
Mm6%~~  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  1t$g K  
F 2Hb  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 'uO8l+  
gU (OUK  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB [)gck sE  
yKQc\f  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) "'`h7rFX  
Gs8*t)KT  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) t{Gl:t(  
zIT-S!  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  =K,FPva  
iC3ZJ/r#  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 8$EjMc8  
CL@TH  
倍角公式 RV&dM2?(u  
FX4%vU4Y  
　　Sin2A=2SinA•CosA fS=01d  
]8cC1-~R  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 s`cu9Q\}  
qJ^%:K}5  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） e~3L 68&  
/^i^qd/  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）  Fr wAy  
_Iv\[E?3  
三倍角公式 |tu[f"  
4]~KNc4h~  
　　 V@j+/s1k  
%QD+X8)/-  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) y"*oRO0+=  
z$$s7z 3  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) nSDkS6  
qAG>=V!cQ  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) M[>]7af^  
mRM my]  
三倍角公式推导 g3^zxo)y   
9FjBglVI  
　　sin3a PSDxnVa%VV  
@/UqD]k4  
　　=sin(2a+a) tf)j>h}  
-NKX90  
　　=sin2acosa+cos2asina n/@(1pHj  
XFE5zY&y  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 7>0_:_  
z%]m7{n)Y  
　　=3sina-4sin³a W~e3fi|  
p-?aK l|  
　　cos3a  a ]Wl,  
0SiKU;  
　　=cos(2a+a) 6 q%Sw@  
Z2(3mqD)  
　　=cos2acosa-sin2asina 1v9SGF  
/YH x07Y  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa '?1>6V#BhW  
HWIC+&-&$  
　　=4cos³a-3cosa cl73LT_  
W[Z ( 4X  
　　sin3a=3sina-4sin³a '?PO '  
3(0=Wu2Gg  
　　=4sina(3/4-sin²a) KABeeyO ^  
yESR*co6Y  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] QWeGv_7h/-  
znb$(sFV  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) QnT]G(Co  
Xz%m#\"79L  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ]/Ps4  
@H$pOr  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] G0+BX7Si  
/]%{bLC  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) KyvAi6  
%H"y0j1  
　　cos3a=4cos³a-3cosa mU/Sv 6#c  
5`I,XA\b  
　　=4cosa(cos²a-3/4) XPRqjH.`  
p2K 9M  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] A`h/)-  
kc@agMCU  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) W?N",fzc  
l`%R{<  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) {g3&=*a  
A qq,W  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} M -}G9ge  
0qz AW]  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) t "/B  
ixDSZq6  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] g*<'H<P  
oCLfV +  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] L&<K@La@  
M0BO+3r  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) \2c^>13k  
'lO[ 9M#  
　　上述两式相比可得 LXKGd{_y3  
:(b=m-]H=  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) McKR!f8Nw  
K4L>`Z  
半角公式 MH|%`%Nxq  
Ro,DUMBOs  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); H=vE $< wK  
&?Vv4vr=  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Ox "{1gk  
DGz+l E >  
和差化积 q $@RLt  
xX(e Bm"  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] *KiFVh_g  
H6K\*3oD  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 36u %z8sqI  
mqQNZ e:  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] +SLt#9.~n  
M~*%QuD5  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] _t_9_SiB  
muO`hspP\  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) B{>Z 8 |M  
I4KU}@+  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) n:8Nbm<\  
sNU??tL  
积化和差 <g6r USP  
`a] 2; o  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] > b#^q  
\ -KU+$   
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] AV^0[OMI#Z  
`,iTt$p9R  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] \,kP/[   
X)S0X/ m:  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] )0d"g;F&L  
jS DEER  
诱导公式 Mf]uht   
bsoFn6Q{  
　　sin(-α) = -sinα * z"{*   
\7/< d%}  
　　cos(-α) = cosα /CXz !,  
~^]W8n1H  
　　sin(π/2-α) = cosα =NEB[8Hl*  
S vih:`  
　　cos(π/2-α) = sinα =Mafq.  
v/a^F  
　　sin(π/2+α) = cosα {?ry$-53  
_@]KrtDE:  
　　cos(π/2+α) = -sinα nV:L +gj,  
G?b.U-dm^  
　　sin(π-α) = sinα s8"'k%  
@{tO~)  
　　cos(π-α) = -cosα EC 9tPN  
i: T.  
　　sin(π+α) = -sinα 0ec6   
kcnSl X  
　　cos(π+α) = -cosα x|\~!P}K  
-Jo" id*`  
　　tanA= sinA/cosA Vy%lZU)  
Mg?w-BG  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ?(ML|)mwRP  
K`=J>-oy+2  
　　tan（π/2－α）＝cotα !Mj[>~aH  
ZD>l0ozJo  
　　tan（π－α）＝－tanα #ji2C5  
bZ;c|2ZX;  
　　tan（π＋α）＝tanα +n. >>D$D  
+w_^[Rysc  
万能公式 *$yDOd'!  
)%f*pEuY  
　　 bA?e<]   
am7\c0}  
其它公式 bIS^7PomBA  
BH<HU?7l  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ZR|yDiG,2  
a!J*_io:z  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ?@E?:;^Y  
[n)8bG'\  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 D$:XeG Rk  
t~18,t$l   
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 kmjg[C%B  
OH<4L Y  
　　对于任意非直角三角形,总有 is5%y-  
Zs"$IB0: ,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC za*&0  
/HzixC 'v  
　　证: o58Xv5b,N  
f)VhLe^  
　　A+B=π-C ;X)tV%4  
^erlxfa  
　　tan(A+B)=tan(π-C) K_bD!y?  
iY8c G 3i  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) e.4 Ne(z;  
utp5F6 }  
　　整理可得 Kvy K'X  
G%k]9;]->  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC a's=h-:*3  
R[8-M iSgA  
　　得证 fG,F +!  
/(L,c~\  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 &^y;2Nm  
C^8v,L^:2  
其他非重点三角函数 F7J.WKG>P  
NTOgbg  
　　csc(a) = 1/sin(a) ]B  
X/}vPtxI  
　　sec(a) = 1/cos(a)  wxpoxG9&  
Pb r-afSR&  
　　 vhnz0:  
:<$hFTG  
双曲函数 X lhL6 m  
Bs[6W,ZP  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 xZZ>8)n|d  
s<cY?Cq-  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 I qtY:U  
"Yxg3:&  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) EnUpL9  
Y'kG;[  
　　公式一： T7hl#XW  
 CK{C  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： qJwzNf#Tb  
<P Y\WS[  
　　sin（2kπ＋α）= sinα EhSm2W 5  
P n\  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 4axBNJ  
p&q7%:tFc  
　　tan（kπ＋α）= tanα *e.E|ULs  
cg.q/*sKQ  
　　cot（kπ＋α）= cotα U\- `C9I  
W2,LC4mrg  
　　公式二： ;(d$dV@  
Vspbd/4S  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： AyrZ>G*  
 t~>  
　　sin（π＋α）= -sinα Srkc"iK<J  
4u]* <w[Xr  
　　cos（π＋α）= -cosα 0v SprP  
3//C)zt  
　　tan（π＋α）= tanα \}!W\~UE0  
Y|m$DSt]g;  
　　cot（π＋α）= cotα XZDNWH;^K  
4$Jl!H  
　　公式三： @X-=Y&Gm  
YkCteR  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Ja<?  
~}:@n5$/  
　　sin（-α）= -sinα M<VF4hd{[  
YHdRCp_  
　　cos（-α）= cosα "~|pIH3_  
V2l+ zT  
　　tan（-α）= -tanα q-P[%Di  
+KEB|*zE  
　　cot（-α）= -cotα 9>59NXcP&G  
kT7mq+}.  
　　公式四： ,$PtGt4  
95mb2  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： m 6W}Mr0  
^QBS[kO  
　　sin（π-α）= sinα ,iUb[vpE  
~B\E60Eh5%  
　　cos（π-α）= -cosα X?imO77~W3  
JaDXM% /  
　　tan（π-α）= -tanα N+L9?  
Qk]nv :\  
　　cot（π-α）= -cotα T W) ~[Z.  
86TH(a}O"  
　　公式五： !D'Y<b  
Zp 'Lo  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： g y  
K17,  
　　sin（2π-α）= -sinα nP An =  
|[6iYnX  
　　cos（2π-α）= cosα 1k_w 8`$  
q|'^l^."  
　　tan（2π-α）= -tanα M `\n(kx  
35*0Uy~  
　　cot（2π-α）= -cotα v1ED?1cz9  
PCVC`c--  
　　公式六： RI:grkb*w  
w\wR]}Pj$  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： +!=!yb-l"  
o:- &\w  
　　sin（π/2+α）= cosα [hYp[4&\b  
,;%oK\/D0s  
　　cos（π/2+α）= -sinα nE!I$&Ek  
mu|Y4S98?  
　　tan（π/2+α）= -cotα 0Res_zzV$  
`G`^<+9po  
　　cot（π/2+α）= -tanα 2D,34 %/(  
+)?E\;e7m  
　　sin（π/2-α）= cosα |Uyt#-y  
<^{rX>S7  
　　cos（π/2-α）= sinα 24 6sWB  
v^r\EAn  
　　tan（π/2-α）= cotα slk4F0[D  
N[jPmd{  
　　cot（π/2-α）= tanα BY}w*fn!  
YMMP.=/3  
　　sin（3π/2+α）= -cosα u=cZ#|;^  
NR_.%txaB  
　　cos（3π/2+α）= sinα 94u9E 1y5  
<Ku^PEB  
　　tan（3π/2+α）= -cotα k "Gcrus-  
^vTXaCuL  
　　cot（3π/2+α）= -tanα buh1_  
pL7~  
　　sin（3π/2-α）= -cosα O% uT,4[z  
HB\C14  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Fw'[Ui(m[  
btD L68;1  
　　tan（3π/2-α）= cotα &G>D6GC4  
,r:h4KN9c  
　　cot（3π/2-α）= tanα 9Ds'*Yw:  
%$(BKdS4Cj  
　　(以上k∈Z) _8#)b' E  
EyBreL  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 |\QHd.i{  
9Wh4<[  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = rK4eyf3Xm*  
7TMif6Y  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ,b~Lr k3k  
H%Pfi|[  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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