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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 \/D2JmM_y  
3\ d[3(y  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. D .lD mD)  
>B=PC  
　　1、三角函数本质： mU~IG  
hqGJ{qJg  
　　三角函数的本质来源于定义 9''R.@h  
~1NR` 'x  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 >RPE]pV([  
/Vz|DPxK`  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 seOFXGL  
lA9 .{A  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： K`cq$Iz  
Tp^v!>,#;  
　　推导： atg :+BsO  
W3t]0g3>KQ  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 {B!X<uFi@  
GF^#7Z"y  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) :Xwi ^!3  
PRT+hX^ O  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) nuP]aS@``  
,/ OvUW  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 r0V%pVs=  
m,/S1  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Ws/@J-3v  
y[juvK  
　　[1] |"F@!iY$  
)d$ldp  
　　两角和公式 spj>K,/\  
*2j4Kd  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB $ySR'dus  
tR`rytq  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  d]U E  
><COj{*o  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB x0&8,k>D  
rs 0eOZfy  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 5:T2n"3  
9 ;_ki@  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) kjFF/Zf_K  
^zZcQ^jnP&  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) _Uo!e6P  
Io]VZ:fb5Z  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  *M)RYbJ  
Vna W~  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) <f4%6pd$  
o:D[8azzo  
倍角公式 5/Cm2z Bx!  
%f+')n/  
　　Sin2A=2SinA•CosA w9!j-h0q  
8D:hc;tF%  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 RGv` H  
|AO-/q$Z,  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） *au;AY`  
em oyV(  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） A/,%rH"U8'  
4$aJc?m_  
三倍角公式 a>&(*]@  
Z^wR&r/k  
　　 J-[tqz6  
g^w2/}Ze,X  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) <8/G.Y p  
#GkB>&>;  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) F7S`FPq~  
 }cH5  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) hjvi k  
zr! ,+Kx  
三倍角公式推导 (:@bxH*`R  
!jWVqYrL  
　　sin3a :X,"Lh({  
v)XW]q3ZI"  
　　=sin(2a+a) A3 "V  
|/.Q['J  
　　=sin2acosa+cos2asina nl # 8 i  
5 SLZJD9i#  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina /46wrBMW%  
]SC5m8HuvT  
　　=3sina-4sin³a C K^aPV-"  
,8)6=\  
　　cos3a q!I hGT'  
SBW .,0RX$  
　　=cos(2a+a) if7Yn^u3/  
RUJkVE/S  
　　=cos2acosa-sin2asina )\=%<}co6  
@rM0  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa sqQ<XZ)lj  
_%u-W [  
　　=4cos³a-3cosa 8b'A  
17M3!dHS  
　　sin3a=3sina-4sin³a M.<7QvJ  
Jk!@bV@  
　　=4sina(3/4-sin²a) |7h\K>~  
v@*lSK1N-  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] &x.HKmkIS  
ew \{kd  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) (51\u?eg"  
?k*VReg  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) d##b<:nz"  
h[B? "UF@  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] GFv8err  
B,+xx|^  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) RxW^I$iNj  
LO:&  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 7Hy| M4 L  
P dvfk &N  
　　=4cosa(cos²a-3/4) B\J jeE  
w< A+  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] &up~>:^*<  
wR2MXG  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ICAdD{_dM  
f3L#j]  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) $r$Esf2  
=%' ={F+>$  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} dFa|5 }%  
|z%c.)P@]  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) \(k W3P  
Je*yb9  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] UWj A{  
<L?v&[Q  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] s+},hc  
J+N~!!(F  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) QW7'vp  
rZT_M%80  
　　上述两式相比可得 0a8ETV  
N& n9j   
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) p"{k3@8.  
oti:nub'g  
半角公式 ?i6F/"i  
5=<>MbgT  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); nnm jXK]s4  
lv7rMtVQ  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ~bJEG9  
P X)`Hy.5  
和差化积 q&Ua4g  
G&mV'$N  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Z)V V6=/  
`ZlyoOs  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] t>mo6U1O  
9e4leF^  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] eR@=GFY  
<`Q a/JL  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] l2P6N8G,^  
0g:A*07^  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) p1l @oH  
5N<0ln 25  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) V,N-/A6&  
R(\ChMX$  
积化和差 *~Iu]@GD^  
0B$NZ~v  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 4I*jKmNe  
yHo/x|6:  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] k+CsJp_=  
N!Xd:ap  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] SaG=/e5 d  
>53e |Es  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] \G[90t0R]  
J[Oc q.  
诱导公式 c 8Iz"R1  
 B`RW2  
　　sin(-α) = -sinα tPN9rGQ  
PA"BW5TIZ  
　　cos(-α) = cosα ys\%Kq*  
9>dG};ak  
　　sin(π/2-α) = cosα Anf'G$sq^  
OH@Tx@(j9  
　　cos(π/2-α) = sinα EVJ4  
kCDj!Z:w  
　　sin(π/2+α) = cosα uY_ ?W1]  
g+|\!nV  
　　cos(π/2+α) = -sinα eb&A40  
-ywLFe62  
　　sin(π-α) = sinα ZxeW{m0F  
)8hg?E.-y[  
　　cos(π-α) = -cosα 3?;[Ga 2  
d>_k5y  
　　sin(π+α) = -sinα AYcRh.  
RsQ_ rb  
　　cos(π+α) = -cosα j>; l$fd(  
yOGfBZ?QC  
　　tanA= sinA/cosA lBQ w]{Cm  
D-7ic*n  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 0f29|  
yT3c$|+  
　　tan（π/2－α）＝cotα ,r] 2h0  
D(f$?#doy  
　　tan（π－α）＝－tanα tivqm _   
:FV<a8:?_\  
　　tan（π＋α）＝tanα *Pg9q}AK-M  
Wg;F=k\r]3  
万能公式 [+!)Fwq4  
-dxu/,,c~  
　　 ("|U f\  
}XHV@$SJb  
其它公式 n< BiGvy.  
MQEYe1?jX  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 NOeU{v&d  
9rWuy63i  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 u_<`TjI)L  
p[zDZ7  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 H? ]FS:QE  
UhmmrU4%  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 uBvx&^[Wb  
,KGm@gPLA  
　　对于任意非直角三角形,总有 hZuU6K_KAh  
2Rn{NMe)  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC _Y( b~!  
=HFY F-6:?  
　　证: 6!8Jdt@1  
XFL .c  
　　A+B=π-C 7)Un'_  
@rVU7b]/=  
　　tan(A+B)=tan(π-C) f0^r`|  
vC RGV >%>  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) u6B.\2!  
UM8IkB  
　　整理可得 z9Vskr)  
7$**>7  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC j0P}6|ZWv  
HiB*3<#c  
　　得证 f\~Q%EG*9  
7S,g  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 b[AVm }mi  
zQLa#Em3  
其他非重点三角函数 v H!kk*pVj  
1r5:A _  
　　csc(a) = 1/sin(a) Rj[xAu  
sbM\:;;  
　　sec(a) = 1/cos(a) ix.bkABp  
TJ'bAD{U  
　　 ;I,7wz~k  
nJl\)L rP  
双曲函数 A"z6Y  
_%Z ,_|  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 `xq3^[oo  
Dg%ip M  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 BTVD4A=  
?-M 9F4  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) U{\~ ?T-  
sHSTm> p  
　　公式一： H/YCpI  
R{ &7iET)  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： fk|+k%WS$  
0:Jp%_<  
　　sin（2kπ＋α）= sinα u $_^Z  
&S _.^%q  
　　cos（2kπ＋α）= cosα G[vXkL+  
g5 R #E  
　　tan（kπ＋α）= tanα F?AhG$.*  
Ls;S %<st  
　　cot（kπ＋α）= cotα ,tLw  
Flxk]iv/G(  
　　公式二： RXXPNeS~  
1='>O-  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： pj=P3/  
b=mbz]K  
　　sin（π＋α）= -sinα @gQG:B/m6  
PXNc\~C(  
　　cos（π＋α）= -cosα #[c)N57 R  
OZ>[sO?n  
　　tan（π＋α）= tanα *5a6n |\  
P3g-E9r+  
　　cot（π＋α）= cotα ]R1Y^E9  
]+cpL%g.  
　　公式三： A Xlv ZC  
7]rz9X 1  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：  \`WMy  
KLAGI  
　　sin（-α）= -sinα }!q%ScwN  
3hYO55o 3  
　　cos（-α）= cosα dMh4JOS+  
9=,[b>gq  
　　tan（-α）= -tanα 5m#v9N(:At  
->d%7uLe}!  
　　cot（-α）= -cotα g E+y;?  
n8qq_EW  
　　公式四： 6MuddKUb  
E[/YPMeDJ  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ~ w'X`!?Pi  
k Supn  
　　sin（π-α）= sinα %h:vj 4  
rb}yj Z/  
　　cos（π-α）= -cosα fF3pfg]  
](2/y4I  
　　tan（π-α）= -tanα Of)XV>O  
)b .Lr8  
　　cot（π-α）= -cotα d{q2Xm."  
KGWt @GI7  
　　公式五： zE/o.  
G5jQqIT^  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Zt^$4!tb  
qA 3^/  
　　sin（2π-α）= -sinα <By$Xy  
sk`"^y-  
　　cos（2π-α）= cosα \7IZkYYg  
~N;{ zN-!  
　　tan（2π-α）= -tanα }" 0m9Sk  
+{wkI  
　　cot（2π-α）= -cotα yKWQff !>  
xv1O.'X`#J  
　　公式六： n)Ybvj1L5  
O:q of7&M  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 4NaVm36{P  
yPmZM*V  
　　sin（π/2+α）= cosα g[$0"5Y~  
d 04D&->  
　　cos（π/2+α）= -sinα $/ g'4  
)y&."67z.  
　　tan（π/2+α）= -cotα Q6J)u<r6  
Xepc UW$  
　　cot（π/2+α）= -tanα arf 0<8v  
`u@maT+.(R  
　　sin（π/2-α）= cosα KSxj[?  
BH"[fHu|/  
　　cos（π/2-α）= sinα \6bEOIkV  
}'BAI6E%  
　　tan（π/2-α）= cotα $)R]6MF$  
C6XDE)  
　　cot（π/2-α）= tanα ~jh28Eiw\  
KFJM}iHWT  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 5sd(cdH  
BPp5Wu1  
　　cos（3π/2+α）= sinα Ab';Q{  
]su}  
　　tan（3π/2+α）= -cotα tT|Scx4<i  
8tV5@LHU  
　　cot（3π/2+α）= -tanα A&3F|  
K8FGBc4if  
　　sin（3π/2-α）= -cosα QQI > isM  
K5d9v8]  
　　cos（3π/2-α）= -sinα nFZ6?e2[  
wS'N.  
　　tan（3π/2-α）= cotα po q- GhM  
^-lD^1HkBW  
　　cot（3π/2-α）= tanα $ k8ee  
ErNu  
　　(以上k∈Z) }&\D`  
-e:&:0  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 uy Q ,3D8  
xG"cTZY  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = E~}na w  
-AS$:F  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 6?dyz\"  
5!vr,]  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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